By Ramis E., Deschamps C., Odoux J.

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Quantum cohomology: lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, June 30 -July 8, 1997

The booklet gathers the lectures given on the C. I. M. E. summer time institution "Quantum Cohomology" held in Cetraro (Italy) from June thirtieth to July eighth, 1997. The lectures and the next updating disguise a wide spectrum of the topic at the box, from the algebro-geometric viewpoint, to the symplectic method, together with fresh advancements of string-branes theories and q-hypergeometric features.

Scissors Congruences, Group Homology & C

A set of lecture notes in response to lectures given on the Nankai Institute of arithmetic within the fall of 1998, the 1st in a sequence of such collections. makes a speciality of the paintings of the writer and the overdue Chih-Han Sah, on facets of Hilbert's 3rd challenge of scissors-congruency in Euclidian polyhedra.

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Example text

Daraus ergibt sich sofort im Binarsystem: 010011010011. Man sieht, daB die dezimale zaW 1235 sich als binare zaW: 10011010011 schreibt. 2° = 1024 + 128 + 64 + 16 + 2 + 1 = 1235. 5. Die zur Darstellung einer Dezimalzahl notwendige Anzahl von biniiren Ziffem Mit n1 binaren Ziffern kann man alle ZaWen zwischen 0 und 2 n1 - 1 darstellen, mit n2 dezimalen Ziffern alle ZaWen von 0 bis 10n2 - 1. Angenommen, die groBten ZaWen in dem einen und anderen System seien gleich. 3. : oder daraus ergibt sich n1 1 n2 = Ig2 n2 = 0,30103 "'" 3,322 n2 .

1m Gegenteil, die Basis 8 hlitte den sehr groBen Vorteil, das Innere der automatischen Rechenmaschinen oft betrachtlich zu vereinfachen, denn die einer oktalen Zahl entsprechende biniire Zahl erhiilt man einfach, indem man nach und nach die jeder ihrer Ziffem entsprechende biniire Zahl bi/det. " (Wir unterstreichen diese Aussage). Diese Eigenschaft wollen wir an Hand eines Beispiels bestlitigen. Gegeben sei die Zahl 625. Mit der Basis 8 schreibt sie sich als 1161. 8° = 512 + 64 + 48 + 1 = 625 AuEerdem ist 8 = 2 3 , und die obige Gleichung l~t sich wie folgt schreiben: 625 = 1 .

N). Wir zeigen nun, da£. diese Relation eine Aquivalenzrelation ist. 1. a == a(mod. n), da a - a = 0 und der Quotient von 0 und n*"O identisch 0 ist. 2. Aus a == b(mod. n) folgt b == a(mod. n); denn ist a - b durch n teilbar, so gilt das ebenfalls fUr b - a; 3. Aus a == b(mod. n) und b == c(mod. n) folgt a == c(mod. n); denn sind sowohl a - b als auch b - c durch n teilbar, so ist a-c=(a-b)+(b-c) ebenfalls durch n teilbar. Also sind die arithmetischen Kongruenzen von GauJ3 Aquivalenzrelationen.

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