By John Eldon Whitesitt

George Boole (1815-1864) flihrte in seinem Buch "The legislation of idea" die erste systematische Behandlung der Logik ein und entwickelte zu diesem Zweck die algebraische Struktur, die heute als Boolesche Algebra bekannt ist. Nur wenige mathematische Werke der vergan genen hundert Jahre haben auf die Mathematik und Philosophie einen groBeren EinfluB ausgetibt als dieses bertihmte Buch. Die Bedeutung dieses Werkes hat Augustus De Morgan mit folgenden Worten zum Ausdruck gebracht: "DaB die symbolischen Prozesse der Algebra, urspriinglich zum Zweck numerischer Rechnungen erfunden, fiihig sein sollten, jeden Akt des Denkens auszudrucken und Grammatik und Worterbuch eiaes allumfassenden structures der Logik zu Hefem, dieses hiitte niemand geglaubt, bevor es in "Laws of proposal" bewiesen wurde. " AuBer in der Logik hat die Boolesche Algebra in der Hauptsache zwei andere wichtige Anwendungen gefunden. Die erste riihrt von der Tat sache her, daB die Boolesche Algebra das naturgegebene Werkzeug flir die Behandlung der Verkntipfungen von Mengen von Elementen durch die Operationen von Durchschnitt und Vereinigung darstellt. Zusammen mit dem Begriff der "Anzahl der Elemente" einer Menge gibt die Boolesche Algebra auch die Grundlage flir die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung abo Dariiber hinaus ist die Mengenalgebra auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik von Bedeutung. Vor etwa zwanzig Jahren (fschloB Claude E. Shannon in zwei Arbeiten der Booleschen Algebra einen neuen Anwendungsbereich, indem er nachwies, daB sie sich zur Darstellung der grundlegenden Eigenschaften von Serien- und Parallelschaltungen bistabiler elektrischer Elemente, wie Schalter und Relais, besonders intestine eignet.

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Quantum cohomology: lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, June 30 -July 8, 1997

The e-book gathers the lectures given on the C. I. M. E. summer season university "Quantum Cohomology" held in Cetraro (Italy) from June thirtieth to July eighth, 1997. The lectures and the next updating conceal a wide spectrum of the topic at the box, from the algebro-geometric perspective, to the symplectic method, together with fresh advancements of string-branes theories and q-hypergeometric features.

Scissors Congruences, Group Homology & C

A suite of lecture notes in response to lectures given on the Nankai Institute of arithmetic within the fall of 1998, the 1st in a sequence of such collections. makes a speciality of the paintings of the writer and the overdue Chih-Han Sah, on features of Hilbert's 3rd challenge of scissors-congruency in Euclidian polyhedra.

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Vbungen Man lose die folgenden· Gleichungen nach X auf und suche in jedem Fall die allgemeine Losung, wenn es eine gibt, und die Eliminante von X. 1. A-t-X = B 2. C+DX = 0 3. AX+BX = A'B'X 4. AB+ABX'+A'BX = 0 5. AX+BX' = CX+DX' 6. B'X= 0, C'X= 0, und A'+B'+C'+X= 1 (simultanes Gleichungssystem) 7. AX-t-BX' = AX-t-CX', und DX+BX' = D'X+CX' (simultanes Gleichungssystem). 10 Die Anzahl der Elemente einer Menge Verschiedene Anwendungen der Mengenalgebra, insbesondere in de r Wahrscheinlichkeitsrechnung, basieren auf dem Begriff der Anzahl aller Elemente einer Menge.

Man bilde durch blo13es Hinsehen das Komplement von folgenden Ausdrlicken: a) xy+x'y c) uvw+u'v'w+lIV'W' +lI'VW' b) xyz d) x'y'z' x'yz+xy'z' + to. Man zeige, daB es 2 verschiedene Funktionen von n Variablen in einer belie2n bigen Booleschen Algebra gibt. 5 Konjunktive Normalform Es gibt au13er der disjunktiven noch andere, gleichfalls sehr brauchbare Normalformen. Eine von diesen stel1t jede Funktion als ein Produkt von Summen, statt einer Sum me von Produkten dar. Wenn jede Aussage des vorangegangenen Abschnittes durch ihr Duales ersetzt wiirde, dann erhielten wir als Ergebnis eine entsprechende Theorie der zweiten, sogenannten konjunktiven Normalform.

1 der anschauliche Weg Uber die Mengenalgebra gewahlt. AIle drei in dies em Buch erwahnten Anwendungen der Booleschen Algebra werden in elementarer Weise ausgiebig behandelt. Jedoch ware es Zeitverschwendung, wollte man jedes der Gebiete gesondert abhandeln und jeden wichtigen Satz jeweils eigens beweisen. Zudem wUrde ein so1ches Vorgehen eher die Verschiedenheit der einzelnen Gebiete als ihre ZusammengehOrigkeit hervorheben. Aus dies en und anderen GrUnden bringt das vorliegende Kapitel eine allgemeine Behandlung der Booleschen Algebra, die auf einer Reihe von Axiomen und Definitionen aufbaut, aus denen dann aIle Ubrigen Lehrsatze abgeleitet werden.

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