By Doz. Dr. rer. nat. Karl-Heinz Gärtner, Margitta Bellmann, Dr. rer. nat. Werner Lyska, Dr. rer. nat. Roland Schmieder (auth.)

Das vorliegende Buch mit seinen zahlreichen Fragen und Antworten sowie Aufgaben und Lösungen aus dem Gebiet der research wendet sich vorwiegend an Studierende natur- und ingenieurwissenschaftlicher Studiengänge der ersten Semester an Technischen Universitäten und Fachhochschulen. Es unterstützt den Leser bei der Vorbereitung auf Prüfungen, insbesondere Klausuren, eignet sich aber auch zur Vertiefung und Ergänzung des Wissens. Die Lösungen zu den Aufgaben werden durch Lösungshinweise, teilweise sogar durch den kompletten Lösungsweg ergänzt. Zur Erleichterung ist jedem Abschnitt eine Auswahl wichtiger Formeln vorangestellt.

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Lokale Extrema und Horizontalwendepunkte Es sei f auf [a, b] Xo E (a,b) . ~ R definiert und auf U(xo) k-mal stetig differenzierbar, Notwendige Bedingung: l' (xo) = 0; Xo heifit stationare Stelle. Hinreichende Bedingung: 1'(xo) = f"(xo) = ... = f(k-l)(xo) = 0 , aber f(k)(xo) f' k ur = i= 0 {2n (n 2=: 1) ist Xo lokale Extremstelle 2n + 1 (n 2=: 1) ist (xo, Yo) Horizontalwendepunkt . Art des Extremums : f(k)(xo) { > 0, so ist Xo lokale Minimumstelle < 0, so ist Xo lokale Maximumstelle . Hinweis: 1st f an der Stelle Xo nicht differenzierbar bzw.

3 21. Wie kann man mit Hilfe der Ableitung nachpriifen, ob eine Funktion y = j(x) auf einem Intervall [xo, Xl] monoton wachsend ist? 22. Welche Eigenschaft hat eine Funktion j, wenn auf dem Intervall (a, b) f"(x) 2: 0 gilt? 23. Wie nennt man die Punkte, in denen der Graph einer Funktion sein Kon- vexitiitsverhalten iindert? Wie kann man diese berechnen? 3 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe ihrer Ableitungen 24. a) Welche Lage nimmt eine Tangente an einer stationiiren Stelle ein? b) Wie kann man die stationiiren Stellen einer Funktion berechnen?

Folglich sind die beiden Geradenscharen zueinander orthogonal. 25. x = c bzw. 26. r = c erzeugt eine Schar konzentrischer Kreise, die den Nullpunkt zum Mittelpunkt haben. 'P = k erzeugt die Schar aller yom Nullpunkt ausgehen den Halbgeraden, wobei aIle Werte kl' k2 mit Ikl - k21 = 27m; n E N die gleiche Halbgerade erzeugen. Beide Kurvenscharen sind zueinander orthogonal. 27. B. x = c erzeugt aIle zur y,z-Ebene parallelen Ebenen. 28. In jedem Punkt der x,y-Ebene schneidet sich genau ein Repriisentant der einen Schar mit genau einem Repriisentaten der anderen Schar und beide Repriisentanten schneiden sich in keinem weiteren Punkt.

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