By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IR^n mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik proper sind. Der textual content wurde für die 6. Auflage grundlegend überarbeitet und die Integrationstheorie wird nun auf maßtheoretischer Grundlage aufgebaut.

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Miniconference on geometry and partial differential equations 2, Canberra, July 26-27, 1986

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7 Man berechne das Volumen des der Einheitskugel einbeschriebenen regulären Dodekaeders. Anleitung. Man berechne zunächst die Länge einer Seite. Dazu beachte man, daß geeignete 8 unter den 20 Ecken des Dodekaeders die Ecken eines Würfels bilden. § 6. Lebesgue-integrierbare Funktionen Nachdem wir das Integral zunächst rur stetige Funktionen mit kompaktem Träger und dann rur halbstetige Funktionen definiert hatten, erweitern wir jetzt den Integralbegriff noch einmal auf die sog. Lebesgue-integrierbaren Funktionen.

4) Für den Differentialoperator L cpDP, L = cp EIR, Ipl ~ k mit konstanten Koeffizienten gilt L*= L (_l)lplcpDP. B. gilt flir den Laplace·Operator ~ = L (l~ (lXi ~*= ~. Ein Differentialoperator L, für den L * = L, heißt selbstadjungiert. Eine Anwendung der Transfonnationsformel Wir werden jetzt die Transformationsformel für mehrfache Integrale dazu verwenden, um den Laplace·Operator in krummlinigen Koordinaten darzustellen. Dazu formulieren wir die Transformationsformel erst noch etwas um. Seien Q und Q' offene Mengen im IRn und <1>: Q' "* Q 29 § 3.

Für die Funktionalmatrix der Transformation gilt . p = . p2 . p, (m E 7l), gegeben wird. p A... p = 0, also u harmonisch. Bemerkung. 6) Räumliche Polarkoordinaten Für festes a E IR sei Ha die Halbebene H a := {(rcosa,rsina',z): rEIR+,zEIR} CIR3 . Wir setzen 33 § 3. : r> 0,0< (} < 7r, 0: < IP < 27r + o:}. Die Abbildung <1>: n' -+ n ( :) ~ (:) = (::::: ~:s:) IP r cos (} \z ist ~l-invertierbar. 3. Zu jedem Punkt (x, y, z) mit (x, y) (0, 0) gibt es ein 0:, so daß (x, y, z) E IR.? \ HOl. Der WinkellP hängt von der Wahl von 0: ab, er ist nur bis auf ein Vielfaches von 27r bestimmt.

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